小丁的屋舍
纸条 | 什么是质数?
2022-09-10
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2022数学新高考一卷,死去的记忆突然攻击我😅
新高考一卷

质数与我的前世今生?

这个我们了解质数的“历史”可以追溯到小学五年级,但我学的懵懵懂懂的,数学老师抓着我们要背的,1 2 3 5 7 11...那时候也不太聪明,只知道死记硬背,效果就显而易见了,输在了这道“数论题”上。
但这并不是第一次出现在高考,在2018-新标‖卷上出现过质数(素数)的身影。
2018-新课标‖卷
那质数到底是什么呢?😭

质数(素数)是什么?

质数 Prime Number(又名:"素数")
指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数,非质的数就是合数(来源:百度百科)

还没听懂?没关系!

  • 理解方法 ①
    从2022年新高考l卷来说,互质就是两数公约数为 1 的数,是 1 就不是质数,咱们举个例子:

🌰例子一
∴ 4 和 8 的公约数是 1 所以这两个数互质

  • 理解方法 ②
    根据 B站 某数学老师所说的,一个数拆开相乘只可以有一个配法,举个例子:

🌰例子二
如图所见,2 拆出的只有一个组法就是 1×2,而 4 查出来有两个组法就是 1×4、2×2 所以就可以得出,2 是质数 4 不是质数,按照这个方法以此类推哦(小声逼逼: 1也是质数哦~)

通过这个方法我们就可以解出今年新高考数学的第五题啦😍
解题方法

先别走!!!

是不是忘了我是个技术博主?似乎咱们也可以用 PHP 输出[code]质数[/code]哦😂

实现思路

循环所有可能的备选数字,然后和中间数以下且大于等于2的整数进行整除比较,如果能够被整数,则肯定不是质数,相反,就是质数!

第一种算法
这也是最可能先想到的,也就是直接和备选数的中间数去比较,算法代码如下:

/**
* 获取所有的质数
* @param array $arr
* @return array
*/
function get_prime_number($arr = []) {
    // 质数数组
    $primeArr = [];
    // 循环所有备选数
    foreach ($arr as $value) {
        // 备选数和备选数的中间数以下的数字整除比较
        for ($i = 2; $i <= floor($value / 2); $i++) {
            // 能够整除,则不是质数,退出循环
            if ($value % $i == 0) {
                break;
            }
        }
        // 被除数$j比备选数的中间数大的则为质数
        // 这样判断的依据:
        // 假如备选数为质数,则内层的for循环不会break退出,则执行完毕,$i会继续+1,即最后$i = floor($value / 2) + 1
        // 假如备选数不为质数,则内层的for循环遇到整除就会break退出,$i不会继续+1,即最后$i <= floor($value / 2)
        if ($value != 1 && $i > floor($value / 2)) {
            $primeArr[] = $value;
        }
    }
    return $primeArr;
}

第二种算法
认真的来说的话,这也不算是另外一种算法,只是对于第一种的稍微点点优化,及中间最大数的优化,缩小比较范围,算法代码如下

/**
* 获取所有的质数
* @param array $arr
* @return array
*/
function get_prime_number($arr = []) {
    // 质数数组
    $primeArr = [];
    // 循环所有备选数
    foreach ($arr as $value) {
        // 备选数和备选数的中间数以下的数字整除比较
        for ($i = 2; $i <= floor($value / $i); $i++) {
            // 能够整除,则不是质数,退出循环
            if ($value % $i == 0) {
                break;
            }
        }
        // 被除数$j比备选数的中间数大的则为质数
        // 这样判断的依据:
        // 假如备选数为质数,则内层的for循环不会break退出,则执行完毕,$i会继续+1,即最后$i = floor($value / $i) + 1
        // 假如备选数不为质数,则内层的for循环遇到整除就会break退出且$i不会继续+1,即最后$i <= floor($value / $i)
        if ($value != 1 && $i > floor($value / $i)) {
            $primeArr[] = $value;
        }
    }
    return $primeArr;
}

第三种算法
这个的话也是对于第二种的优化,即,直接从完整数组中删除所有不是质数的数即可,算法代码如下:

/**
* 获取所有的质数
* @param array $arr
* @return array
*/
function get_prime_number_three($arr = []) {
    // 质数数组
    $primeArr = $arr;
    // 循环所有备选数
    foreach ($primeArr as $key => $value) {
        if ($value == 1) {
            unset($primeArr[$key]);
            continue;
        }
        // 备选数和备选数的中间数以下的数字整除比较
        for ($i = 2; $i <= floor($value / $i); $i++) {
            // 能够整除,则不是质数,从数组中删除且退出循环
            if ($value % $i == 0) {
                unset($primeArr[$key]);
                break;
            }
        }
    }
    // 重置数组索引返回
    return array_values($primeArr);
}

使用方法

比如,求1-100的所有质数

// 所有备选数数组
$numberArr = range(1, 100, 1);
// 获取备选数中的所有质数
$primeNumberArr = get_prime_number($numberArr);
// 输出打印
print_r($primeNumberArr);
又比如,求指定数组中的所有质数
// 所有备选数数组
$numberArr = [11, 22, 33, 66, 77, 3, 8, 10, 99];
// 获取备选数中的所有质数
$primeNumberArr = get_prime_number($numberArr);
// 输出打印
print_r($primeNumberArr);

注:图片/代码部分来自互联网

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October 14th, 2022 at 04:02 pm玉淇冰
October 14th, 2022 at 04:02 pm

用编程求质数的话,还可以学习一下“欧拉筛”法,也非常不错

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